Question

孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：

(1)若測得(如圖1)，求a的值；

(2)對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF＝1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；

(3)對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設線段與軸的交點為，由拋物線的對稱性可得為中點， 　　，， 　　，(，)　　2分 　　將(，)代入拋物線得，　　3分 　　(2)解法一：過點作軸于點， 　　點的橫坐標為，(1，)　　4分 　　．又，易知，又， 　　△∽△，　　5分 　　設點(，)()，則，， 　　，即點的橫坐標為　　6分 　　解法二：過點作軸于點， 　　點的橫坐標為，(1，)　　4分 　　 　　，易知， 　　，　　5分 　　設點(－，)()，則，， 　　，即點的橫坐標為　　6分 　　解法三：過點作軸于點， 　　點的橫坐標為，(1，)　　4分 　　設(－，)()，則 　　，，， 　　， 　　， 　　解得：，即點的橫坐標為　　6分 　　(3)解法一：設(，)()，(，)()， 　　設直線的解析式為：，則　　7分 　　得，， 　　　　8分 　　又易知△∽△，，，　　9分 　　．由此可知不論為何值，直線恒過點(，)　　10分 　　(說明：寫出定點的坐標就給2分) 　　解法二：設(，)()，(，)()， 　　直線與軸的交點為，根據(jù)，可得 　　， 　　化簡，得　　8分 　　又易知△∽△，，，　　9分 　　為固定值．故直線恒過其與軸的交點(，)　　10分 　　說明：的值也可以通過以下方法求得． 　　由前可知，，，， 　　由，得：， 　　化簡，得．