Question

【題目】已知拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）．

（1）求c1的解析式；

（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；

（3）若拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作c2，平行于x軸的直線記作l2：y=n．試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與c1和c2共有：①兩個(gè)交點(diǎn)；②三個(gè)交點(diǎn)；③四個(gè)交點(diǎn)；

（4）若c2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線c1的解析式為，把D（0，3）代入即可得到結(jié)論；

（2）解方程組得到，由于直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到拋物線c2的解析式為：，根據(jù)圖象即可剛剛結(jié)論；

（4）求得B（3，0），得到OB=3，根據(jù)勾股定理得到AB的長(zhǎng)，①當(dāng)AP=AB，②當(dāng)AB=BP=時(shí)，③當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），∴設(shè)拋物線c1的解析式為，把D（0，3）代入得3=a+4，∴a=﹣1，∴拋物線c1的解析式為：，即；

（2）解得，∵直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；

（3）∵拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作c2，∴拋物線c2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），∴拋物線c2的解析式為：，∴①當(dāng)直線l2過(guò)拋物線c1的頂點(diǎn)（﹣1，4）和拋物線記作c2的頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，即n=4時(shí)，l2與c1和c2共有兩個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)直線l2過(guò)D（0，3）時(shí)，即n=3時(shí)，l2與c1和c2共有三個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)3＜n＜4或n＜3時(shí)，l2與c1和c2共有四個(gè)交點(diǎn)；

（4）如圖，∵若c2與x軸正半軸交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB= =：

①當(dāng)AP=AB=時(shí)，PB=8，∴P1（﹣5，0）；

②當(dāng)AB=BP=時(shí)，P2（3﹣，0）或P3（3+，0）；

③當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）時(shí)，△PAB為等腰三角形．