Question

15、點P在銳角△ABC的邊上運動，試確定點P的位置，使PA+PB+PC最小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：作出△ABC最短邊上的高，根據(jù)圖形特點得PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，從而推出PA＜QA，BP'＞AP，
到構(gòu)造矩形B'B_oP'P_o，得到B'B＞BB_o，通過計算可得P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．

解答：解：當點P在銳角△ABC最短邊上的高的垂足的位置時，
PA+PB+PC最�。�
證明：如圖，P為△ABC一邊BC邊，
上的高的垂足，而Q為BC邊上的任一點，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又設AC為△ABC最短邊，作這邊上的高BP′（如圖），
可知BP'＞AP．
在BP′上截取B_oP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′P_o⊥AC．垂足為P_o，
連接B′B_o．
∵Rt△APC≌Rt△B'P_oC，
∴AP=B'P_o=B_oP'．
∵四邊形B'B_oP'P_o是矩形，
∴∠B'B_oB=90°，
在△B'B_oB中，B'B＞BB_o，
∵P'A+P'B+P'C=BB_o+AP+AC，PA+PB+PC=BP'+AC+AP，
∴P'A+P'B+P'C＜PA+PB+PC．

點評：此題考查了最短路徑問題，靈活運用三角形的兩邊之和大于第三邊、直角邊小于斜邊等知識，通過不等式的加減，即可得出結(jié)論．