Question

（2010•漳州）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若，DF=2，求的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．根據(jù)切線的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）根據(jù)弧長公式，應(yīng)先求半徑和圓心角的度數(shù)．根據(jù)等弧所對的圓心角相等可得∠5=120°；∠3=30°．根據(jù)三角函數(shù)可求半徑的長，再計算求解．
解答：（1）證明：連接OD．
∵AB=AC，∴∠C=∠B．                                  （1分）
∵OD=OB，∴∠B=∠1．
∴∠C=∠1．                                           （2分）
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO．                               （3分）
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD．
∴FD是圓O的切線．                                     （4分）

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．                     （5分）
∵AC=AB，∴∠3=∠4．                                 （6分）
∴=，∵=，∴==．               （7分）
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等邊三角形，∠C=60°．                       （8分）
在Rt△CFD中，sinC=，CD===，
∴DB=，AB=BC=，∴AO=．                    （9分）
∴==π．                                 （10分）
點評：此題考查了切線的判定，弧長公式的運用等知識點．證明經(jīng)過圓上一點的直線是圓的切線，常作的輔助線是連接圓心和該點，證明直線和該半徑垂直．