Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+4ax+b（a＞0）的頂點A在x軸上，與y軸交于點B．

（1）用含a的代數(shù)式表示b；

（2）若∠BAO＝45°，求a的值；

（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．若拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)恰好沒有整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝4a；（2）；（3）或a＝1．

【解析】

（1）先將拋物線解析式化為頂點式，然后根據(jù)拋物線y＝ax2+4ax+b（a＞0）的頂點A在x軸上，可以得到該拋物線的頂點縱坐標(biāo)為0，從而可以得到a和b的關(guān)系；

（2）根據(jù)拋物線解析式，可以得到點B的坐標(biāo)為（0，4a），然后∠BAO＝45°，可知4a＝2，從而可以求得a的值；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出a的取值范圍．

解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2+（b﹣4a），

∴該拋物線頂點A的坐標(biāo)為（﹣2，b﹣4a），

∵頂點A在x軸上，

∴b﹣4a＝0，

即b＝4a；

（2）∵b＝4a，

∴拋物線為y＝ax2+4ax+4a（a＞0），

∵拋物線頂點為A（﹣2，0），與y軸的交點B（0，4a）在y軸的正半軸，∠BAO＝45°，

∴OB＝OA＝2，

∴4a＝2，

∴；

（3）或a＝1．

理由：∵點A（﹣2，0），點B（0，4a），

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝mx+n，

，得，

即直線AB的解析式為y＝2ax+4a，

∵拋物線解析式為y＝ax2+4ax+4a（a＞0），拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)恰好沒有整點，

∴或，

解得，a＝1或0＜a≤，

即a的取值范圍是0＜a≤或a＝1．