Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4x與x軸正半軸的交點，點B在拋物線上，其橫坐標(biāo)為2，直線AB與y軸交于點C．點M、P在線段AC上（不含端點），點Q在拋物線上，且MQ平行于x軸，PQ平行于y軸．設(shè)點P橫坐標(biāo)為m．
（1）求直線AB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長．
（3）以PQ、QM為鄰邊作矩形PQMN，求矩形PQMN的周長為9時m的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二次函數(shù)解析式求出A點和B點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式；
（2）設(shè)P（m，-m+8），則Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+4m），討論：當(dāng)0＜m≤2時，PQ=$\frac{1}{2}$m²-5m+8；當(dāng)2＜m＜8時，PQ=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8；
（3）先表示出M（$\frac{1}{2}$m²-4m+8，-$\frac{1}{2}$m²+4m），討論：當(dāng)0＜m≤2，QM=$\frac{1}{2}$m²-5m+8，利用矩形周長列方程得到2（$\frac{1}{2}$m²-5m+8+$\frac{1}{2}$m²-5m+8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值；當(dāng)2＜m＜8，QM=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8，利用矩形周長列方程得到2（-$\frac{1}{2}$m²+5m-8-$\frac{1}{2}$m²+5m-8）=9，然后解方程求出滿足條件m的值．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{2}$x²+4x=0，解得x₁=0，x₂=8，則A（8，0）；
當(dāng)x=2時，y=-$\frac{1}{2}$x²+4x=6，則B（2，6），
設(shè)直線AB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
將A（8，0），B（2，6）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-x+8；
（2）設(shè)P（m，-m+8），則Q（m，-$\frac{1}{2}$m²+4m），
當(dāng)0＜m≤2時，PQ=-m+8-（-$\frac{1}{2}$m²+4m）=$\frac{1}{2}$m²-5m+8；
當(dāng)2＜m＜8時，PQ=-$\frac{1}{2}$m²+4m-（-m+8）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8；
（3）∵M(jìn)Q∥x軸，
∴M點的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$m²+4m，
∴M點的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$m²-4m+8，即M（$\frac{1}{2}$m²-4m+8，-$\frac{1}{2}$m²+4m），
當(dāng)0＜m≤2，QM=$\frac{1}{2}$m²-4m+8-m=$\frac{1}{2}$m²-5m+8，
∵2（PQ+QM）=9，
∴2（$\frac{1}{2}$m²-5m+8+$\frac{1}{2}$m²-5m+8）=9，
整理得2m²-20m+23=0，解得m₁=$\frac{10-3\sqrt{6}}{2}$，m₂=$\frac{10+3\sqrt{6}}{2}$（舍去）；
當(dāng)2＜m＜8，QM=m-（$\frac{1}{2}$m²-4m+8）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8，
∵2（PQ+QM）=9，
∴2（-$\frac{1}{2}$m²+5m-8-$\frac{1}{2}$m²+5m-8）=9，
整理得2m²-20m+41=0，解得m₁=$\frac{20-3\sqrt{2}}{2}$，m₂=$\frac{20+3\sqrt{2}}{2}$（舍去）；
綜上所述，m的值為$\frac{10-3\sqrt{6}}{2}$或$\frac{20-3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．