Question

（2009•無錫一模）如圖，以正方形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，以頂點C為圓心、邊CB為半徑作，E為BC的延長線上一點，且CD、CE的長恰為方程x²-2（+1）x+4=0的兩根，其中CD＜CE．連接DE交⊙O于點F．
（1）求DF的長；
（2）求圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)CD、CE的長恰為方程x²-2（+1）x+4=0的兩根，求出CD、CE的長；再根據(jù)CD、CE的長求出∠CDE的正切值，進而求出∠CDE的度數(shù)；然后利用直角三角形的特點求出DF的長．
（2）由圖形可知S_陰影=（S_扇形BCD-S⊙O）+（S_△DCE-S_△DOF-S_扇形COF），然后根據(jù)面積計算公式計算即可．
解答：解：（1）連接CF，
∵CD、CE的長為方程x²-2（+1）x+4=0的兩根；
∴CE=2，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE==；
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DFC=90°；
∴DF=DC=×2=1．

（2）連接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等邊三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=×1=，S_扇形FOC==，
S_陰影FEC=S_△ECD-S_△DOF-S_扇形FOC=×2×2--=-，
S_陰影DBC=S_扇形BCD-S_半圓O=-π×1=π，
∴S_陰影=S_陰影FCE+S_陰影DBC=-+π，
=．
點評：本題考查了正方形的性質、扇形面積的計算方法等知識．求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．