Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為一個矩形紙片，AB=3，BC=2，動點P自D點出發(fā)沿DC方向運動至C點后停止，△ADP以直線AP為軸翻折，點D落在點D1的位置，設(shè)DP=x，△AD1P與原紙片重疊部分的面積為y．

（1）當x為何值時，直線AD1過點C？

（2）當x為何值時，直線AD1過BC的中點E？

（3）求出y與x的函數(shù)表達式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；

（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；

（3）分為兩種情況：當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設(shè)PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．

試題解析：解：（1）如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直線AD1過C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC==，CD1=﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x=，∴當x=時，直線AD1過點C；

（2）如圖2，連接PE，∵E為BC的中點，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE==，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x=，∴當x=時，直線AD1過BC的中點E；

（3）①如圖3，當0＜x≤2時，y=x；

②如圖4，當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根據(jù)折疊），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，設(shè)PF=AF=a，由題意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a=，所以y==．

綜合上述， ．