Question

已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，AN交直線BC于M．
（1）如圖1．若點P與點C重合，則

AM

MN

=

1

，

MC

AP

=

1

2

（直接寫出結(jié)果）：
（2）如圖2，若點P在線段AC上，求證：AP=2MC；
（3）如圖3，若點P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出

MC

AP

=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“角角邊”證明△ACM和△NBM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；
（2）過點N作NE⊥BC于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“角角邊”證明△PBC和△BNE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“角角邊”證明△ACM和△NEM全等根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MC=ME，整理即可得證；
（3）過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，然后與（2）的求解方法相同．

解答：（1）解：∵線段PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，
∴∠CBN=90°，BC=BN，
∴∠C=∠CBN，AC=BN，
在△ACM和△NBM中，

∠C=∠CBN ∠AMC=∠NMB AC=BN

，
∴△ACM≌△NBM（AAS），
∴AM=MN，MC=MB，
∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，
∴

AM

MN

=1，

MC

AP

=

1

2

；

（2）證明：如圖2，過點N作NE⊥BC于E，
∴∠BNE+∠CBN=90°，
∵線段PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，
∴∠PBC+∠CBN=90°，
∴∠PBC=∠BNE，
在△PBC和△BNE中，

∠PBC=∠BNE ∠C=∠BEN=90° PB=BN

，
∴△PBC≌△BNE（AAS），
∴BE=PC，NE=BC，
∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，
在△ACM和△NEM中，

∠C=∠NEM=90° ∠AMC=∠NME AC=NE

，
∴△ACM≌△NEM（AAS），
∴MC=ME，
∴CE=2MC，
∴AP=2MC；

（3）解：如圖3，過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，
過點N作NE⊥BC于E，
∴∠BNE+∠CBN=90°，
∵線段PB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，
∴∠PBC+∠CBN=90°，
∴∠PBC=∠BNE，
在△PBC和△BNE中，

∠PBC=∠BNE ∠C=∠BEN=90° PB=BN

，
∴△PBC≌△BNE（AAS），
∴BE=PC，NE=BC，
∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，
在△ACM和△NEM中，

∠C=∠NEM=90° ∠AMC=∠NME AC=NE

，
∴△ACM≌△NEM（AAS），
∴MC=ME，
∵AP=AC+PC，
CE=BC+BE=2MC，
∴AP=CE=2MC，
∴

MC

AP

=

1

2

．
故答案為：（1）1，

1

2

；（3）

1

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法與性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．