Question

如圖，在半徑為r的⊙O中，AB為直徑，C為的中點(diǎn)，D為的三分之一分點(diǎn)，且的長(zhǎng)等于兩倍的的長(zhǎng)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O的切線CE于點(diǎn)E（C為切點(diǎn)），求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：過(guò)E作EH⊥AB于H，連OC，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵C為的中點(diǎn)，
∴CA=CB，∠CAB=45°，
∴CO⊥AB，
∵CE為⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
而EH⊥AB，
∴四邊形OCEH為矩形，
∴EH=OC=r，
∵D為的三分之一分點(diǎn)，且的長(zhǎng)等于兩倍的的長(zhǎng)，
∴∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=×45°=30°，
在Rt△AHE中，∠BAE=30°，∠AHE=90°，
∴AE=2EH=2r．
分析：過(guò)E作EH⊥AB于H，連OC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由C為的中點(diǎn)，則CA=CB且∠CAB=45°，可得到CO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CE，則四邊形OCEH為矩形，于是有EH=OC=r，又由于D為的三分之一分點(diǎn)，且的長(zhǎng)等于兩倍的的長(zhǎng)，則∠BAD=2∠DAC，可得∠BAD=×45°=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到AE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．