(2009•本溪)在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=______度;
(2)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)問(wèn)要求∠BCE的度數(shù),可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系,根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理,得出△ABD≌△ACE,再根據(jù)全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;
(2)問(wèn)在第(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上,將α+β轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和;
(3)問(wèn)是第(1)問(wèn)和第(2)問(wèn)的拓展和延伸,要注意分析兩種情況.
解答:解:(1)90°.
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD與△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
∴∠BCE=∠B+∠ACB,
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°;

(2)①α+β=180°,
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD與△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∴∠B+∠ACB=β,
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°;

②當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)BC上時(shí),α+β=180°;
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°,
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,
∴α+β=180°;
當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),α=β.
理由:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中,

∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE,
即α=β.
點(diǎn)評(píng):本題考查三角形全等的判定,以及全等三角形的性質(zhì);兩者綜合運(yùn)用,促進(jìn)角與角相互轉(zhuǎn)換,將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵.本題的亮點(diǎn)是由特例引出一般情況.
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①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上移動(dòng),則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

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