Question

（2008•宿遷）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)，A（2，n），B（-1，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使△APO∽△AOB？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并假設(shè)滿足條件的p點(diǎn)存在，根據(jù)相似就可以求出P的位置．
解答：解：（1）∵雙曲線過點(diǎn)（-1，-2）
∴k₁=-1×（-2）=2
∵雙曲線過點(diǎn)（2，n）
∴n=1
由直線y=k₂x+b過點(diǎn)A，B得，
解得
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為y=，一次函數(shù)關(guān)系式為y=x-1．

（2）存在符合條件的點(diǎn)P，．
理由如下：∵A（2，1），B（-1，-2），
∴OA==，AB==3，
∵△APO∽△AOB
∴，
∴AP=，
如圖，設(shè)直線AB與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、D，過P點(diǎn)作PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接OP，作AF⊥x軸，BG⊥x軸，DH⊥BG．
在直線y=x-1中，令x=0，解得：y=-1，則D的坐標(biāo)是：（0，-1）；
在直線y=x-1中，令y=0，解得：x=1，則C的坐標(biāo)是（1，0）；
則CF=OF-OC=2-1=1，AF=1，在直角△ACF中，AC==，
OC=OD=1，則CD==，
BH=BG-GH=2-1=1，DH=1，在直角△BDH中，BD==，
則AC=CD=DB=，
故PC=AC-AP=，
在直線y=x-1中，令x=0，則y=-1，則D的坐標(biāo)是（0，-1），OD=1，
令y=0，則x=1，則C的坐標(biāo)是：（1，0），則OC=1，
則△OCD是等腰直角三角形．
∴∠OCD=45°，
∴∠ACE=∠OCD=45°．
再由∠ACE=45°得CE=PE=，
從而OE=OC+CE=，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（．
點(diǎn)評(píng)：判斷存在性問題是中考中常見的題型，需要熟練掌握．