Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.

求證：（1）△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，問題得證；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，問題得證；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，CD=AB=4，再根據(jù)勾股定理可求得DE的長，再由△ADF∽△DEC根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC，AB∥CD   

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B

∴∠AFD=∠C

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC，CD=AB=4

又∵AE⊥BC       

∴AE⊥AD

在Rt△ADE中，DE=

∵△ADF∽△DEC

∴      

∴，解得AF=.

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.