Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) 的圖象是直線l1 ， l1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l2過點C（a，0）且與直線l1垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發(fā)，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．
（1）寫出A點的坐標(biāo)和AB的長；
（2）當(dāng)點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l2、y軸都相切，求此時a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函數(shù) 的圖象是直線l1，l1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，

∴y=0時，x=﹣4，

∴A（﹣4，0），AO=4，

∵圖象與y軸交點坐標(biāo)為：（0，3），BO=3，

∴AB=5

（2）解：由題意得：AP=4t，AQ=5t， =t，

又∠PAQ=∠OAB，

∴△APQ∽△AOB，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∵點P在l1上，

∴⊙Q在運動過程中保持與l1相切，

①當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，設(shè)l2與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：

∴ ，

∴PQ=6；

故AQ=10，則運動時間為： =2（秒）；

連接QF，則QF=PQ，

∵直線l2過點C（a，0）且與直線l1垂直，F(xiàn)Q⊥l2，

∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，

∴∠PAQ=∠FQC，

∴△QFC∽△APQ，

∴△QFC∽△APQ∽△AOB，

得： ，

∴ ，

∴ ，

∴QC= ，

∴a=OQ+QC=OC= ，

②如圖2，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時，設(shè)l2與⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得： ，

∴PQ= ，

則AQ=4﹣ =2.5，

∴則運動時間為： = （秒）；

故當(dāng)點P、Q運動了2秒或 秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l2、y軸都相切，

連接QE，則QE=PQ，

∵直線l2過點C（a，0）且與直線l1垂直，⊙Q在運動過程中保持與l1相切于點P，

∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，

∵∠PAO=∠BAO，

∴△APQ∽△AOB，

同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得： ，

∴ ， = ，

∴QC= ，a=QC﹣OQ= ，

綜上所述，a的值是： 和 ，

【解析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點求法，分別求出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時，分別分析得出答案．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．