Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數與一次函數的圖象相交于點.過點作軸的垂線，分別交正比例函數的圖象于點，交一次函數的圖象于點，連接.

（1）求這兩個函數的表達式；

（2）求的面積；

（3）在軸上是否存在一點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）14；（3），.

【解析】

（1）由點A的坐標，利用待定系數法即可求出k、b的值，此題的解；

（2）由點P的坐標可得出點B、C的坐標，進而可得出BC的長度，由OP的長度結合三角形的面積公式即可求出△OBC的面積；
（3）假設存在，當點M在x軸上時，設點M的坐標為（m，0），假設存在，當點M在x軸上時，設點M的坐標為（m，0），因為為直角三角形，所以要分AO是直角邊和AO是斜邊兩種情況.根據圖形，利用勾股定理，求出m即可.

解：（1）∵正比例函數與一次函數的圖象相交于點，

∴，，

解得：，，

∴正比例函數表達式為；

一次函數表達式為.

（2）∵軸，，

∴把分別代入和中，

得：，，

∵.

又∵，

∴.

（3）假設存在，當點M在x軸上時，設點M的坐標為（m，0），

∵為直角三角形，
∴分AO是直角邊和AO是斜邊兩種情況.

∵

∴AO=

①當AO是斜邊時，有AM=6,OM=m

則：

解得：m=±8，

當m=-8不符合題意，故舍棄，
∴點；

②當AO直角邊時，利用勾股定理可得AM2=62+（m-8）2,

∵ OM=m，AO=10

∴在Rt△OAM中，

則：

解得：m=±，

當m=-不符合題意，故舍棄，
所以，.