Question

如圖為二次函數y=ax²+bx+c的圖象，在下列說法中：
①abc＜0；
②方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；
③a+b+c＞0；
④當x＞1時，y隨x的增大而增大；
⑤9a-3b＞16a+4b
正確的說法有    ．（把正確的答案的序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】分析：由拋物線開口方向得到a＞0，由對稱軸在y軸的右邊得b＜0，由拋物線與y軸的交點坐標在x軸下方得c＜0，則abc＞0；根據當x=-1時，y=0；x=3時，y=0，則方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；利用拋物線的對稱性由點（-1，0）、（3，0）可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，根據二次函數的性質得到當x＞1時，y隨x的增大而增大；
把x=-3和x=4分別代入拋物線解析式得到9a-3b+c和16a+4b+c，由于x=-3比x=4離直線x=1更遠，根據二次函數的性質得到9a-3b+c＞16a+4b+c，然后整理即可．
解答：解：∵拋物線開口相上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸的右邊，
∴x=-＞0，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點坐標在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①錯誤；
∵當x=-1時，y=0；x=3時，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3；所以②正確；
③當x=1時，a+b+c＜0，故此選項錯誤；
∵拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0）、（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴當x＞1時，y隨x的增大而增大；所以④正確；
∵x=-3時，y=ax²+bx+c=9a-3b+c；x=4時，y=ax²+bx+c=16a+4b+c；
而x=-3比x=4離直線x=1更遠，
∴9a-3b+c＞16a+4b+c，
即9a-3b＞16a+4b；所以⑤正確．
故答案為②④⑤．
點評：本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．