Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．

（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；
（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；
（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

由折疊性質(zhì)得：△ANM≌△ADM，

∴∠MAN=∠DAM，

∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，

∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=ADtan∠DAM=3×tan30°=3× =

（2）

延長MN交AB延長線于點Q，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠DMA=∠MAQ，

由折疊性質(zhì)得：△ANM≌△ADM，

∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，

∴∠MAQ=∠AMQ，

∴MQ=AQ，

設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，

∵∠ANM=90°，

∴∠ANQ=90°，

在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，

∴（x+1）2=32+x2，

解得：x=4，

∴NQ=4，AQ=5，

∵AB=4，AQ=5，

∴S△NAB= S△NAQ= × ANNQ= × ×3×4= ；

（3）

過點A作AH⊥BF于點H，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠HBA=∠BFC，

∵∠AHB=∠BCF=90°，

∴△ABH∽△BFC，

∴ ，

∵AH≤AN=3，AB=4，

∴當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，如圖3所示：

由折疊性質(zhì)得：AD=AH，

∵AD=BC，

∴AH=BC，

在△ABH和△BFC中， ，

∴△ABH≌△BFC（AAS），

∴CF=BH，

由勾股定理得：BH= = = ，

∴CF= ，

∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣

【解析】（1）由折疊性質(zhì)得∠MAN=∠DAM，證出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函數(shù)得出DM=ADtan∠DAM= 即可；（2）延長MN交AB延長線于點Q，由矩形的性質(zhì)得出∠DMA=∠MAQ，由折疊性質(zhì)得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，證出MQ=AQ，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，證出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面積；（3）過點A作AH⊥BF于點H，證明△ABH∽△BFC，得出對應邊成比例 = ，得出當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，由折疊性質(zhì)得：AD=AH，由AAS證明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出結果．本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關鍵．
【考點精析】關于本題考查的角平分線的性質(zhì)定理和矩形的性質(zhì)，需要了解定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．