(2009•通州區(qū)一模)請(qǐng)閱讀下列材料:
已知:如圖1在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn),若∠DAE=45度.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小明的思路是:把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE′,連接E′D,使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題:
(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對(duì)你的猜想給予證明;
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上,動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,其它條件不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.

【答案】分析:(1)根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE’根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根據(jù)Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°所以E′B2+BD2=E′D2,證△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2;
(2)關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立,可類(lèi)比(1)的證明方法求證即可.
解答:(1)猜想:DE2=BD2+EC2,
證明:根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2,
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
∴△AE′D≌△AED,
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2

(2)結(jié)論:關(guān)系式DE2=BD2+EC2仍然成立.
證明:作∠FAD=∠BAD,且截取AF=AB,連接DF,連接FE,
∴△AFD≌△ABD,
∴AF=AB,F(xiàn)D=DB,
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,
又∵AB=AC,
∴AF=AC,
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)=45°+∠DAB,
∴∠FAE=∠EAC,
又∵AE=AE,
∴△AFE≌△ACE,
∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°,
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°,
∴在Rt△DFE中,
DF2+FE2=DE2,
即DE2=BD2+EC2
點(diǎn)評(píng):本題考查旋轉(zhuǎn)的知識(shí),三角形全等的判定方法和性質(zhì)已經(jīng)等邊三角形的性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個(gè)三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.利用全等來(lái)證明相等的線段是常用的方法之一.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2009•通州區(qū)一模)下表給出了代數(shù)式x2+bx+c與x的一些對(duì)應(yīng)值:
x-11234
x2+bx+c3-13
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定b、c的值,并填齊表格空白處的對(duì)應(yīng)值;
(2)設(shè)y=x2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作PE∥AC交BC于E,連接PC,當(dāng)△PEC的面積最大時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).

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求:(1)這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
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B.-1
C.1
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