Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，四邊形DECF為正方形，請完成下列問題：
（1）請簡述圖甲是經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變成圖乙？
（2）若AD=3，DB=4，求△ADE與△BDF面積的和；
（3）求△ABC面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形DECF為正方形，
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴DA繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90度到DA₁的位置，DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90度到DF位置，
∴圖甲中的△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖乙；

（2）設(shè)DE=DF=x．
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴AE：DF=AD：DB=DE：BF，即AE：x=3：4=x：BF，
∴AE=x，BF=x，
∴S_△AED+S_△DFB=•AE•DE+•BF•DF=•x•x+•x•x=x²，
在Rt△AED中，x²+（x）²=3²，
∴x²=，
∴S_△AED+S_△DFB=×=6；

（3）由（2）可知：DE²=，
則S_{正方形CFDE}=，
所以△ABC的面積=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}=6+=．
分析：（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)DA旋轉(zhuǎn)到DA₁，DE旋轉(zhuǎn)到DF，而∠EDF=90°，由旋轉(zhuǎn)的定義即可描述由圖甲變成圖乙的形成過程；
（2）證明△ADE∽△DFB，得到這兩個三角形邊之間的關(guān)系，再利用DE=DF和勾股定理可求出它們的面積和；
（3）由（2）得S_△AED+S_△DFB=6，DE²=，那么正方形CFDE的面積即為，則△ABC的面積=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}．
點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉旋轉(zhuǎn)的定義及其性質(zhì)，熟練利用相似比和勾股定理建立線段之間的數(shù)量關(guān)系，記住三角形的面積公式．