Question

如圖（1），已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn) O，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，），在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、．D落在拋物線上，頂點(diǎn)A，B落在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若AB=6，求AD的長；
（3）設(shè)矩形ABCD的周長為L，求L的最大值．
（4）如圖（2），若直線y=x交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P為直線y=X上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作X軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．問在直線y=x上是否存在點(diǎn)P，使得以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圖象上頂點(diǎn)坐標(biāo)以及原點(diǎn)，由頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出D點(diǎn)橫坐標(biāo)x=2，求出D點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得出AD的長；
（3）首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，），且圖象過（0，0）點(diǎn)，
代入頂點(diǎn)式得：
y=a（x-5）²+，
將（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）²+，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+；

（2）∵此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，），且圖象過（0，0）點(diǎn)，
∴圖象與x軸另一交點(diǎn)為：（10，0），
當(dāng)AB=6時(shí)，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假設(shè)AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周長為l為：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：==20.5．

（4）當(dāng)以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的圖象上，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，
∴5=，
解得：m=5±，
當(dāng)∠P₃NQ₃=90°時(shí)，過點(diǎn)Q₃作Q₃K₁⊥對(duì)稱軸，
當(dāng)△NQ₃K₁為等腰直角三角形時(shí)，△NP₃Q₃為等腰直角三角形，
Q點(diǎn)在OM的上方時(shí)，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=--x，
Q₃K₁=5-x，
Q點(diǎn)在OM的下方時(shí)，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-），
Q₄K₂=x-5，
∴x²-x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：
（5-，5-）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點(diǎn)的坐標(biāo)以及利用y=x圖象上點(diǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．