Question

閱讀下列材料，然后解答后面的問(wèn)題：
我們知道二元一次方程組

2x+3y=12 3x-3y=6

的求解方法是消元法，即可將它化為一元一次方程來(lái)解，可求得方程組

2x+3y=12 3x-3y=6

有唯一解．
我們也知道二元一次方程2x+3y=12的解有無(wú)數(shù)個(gè)，而在實(shí)際問(wèn)題中我們往往只需要求出其正整數(shù)解．下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整數(shù)解的過(guò)程：
由2x+3y=12得：y=

12-2x

3

=4-

2

3

x
∵x、y為正整數(shù)，∴

x＞0 12-2x＞0

則有0＜x＜6
又y=4-

2

3

x為正整數(shù)，則

2

3

x為正整數(shù)，所以x為3的倍數(shù)．
又因?yàn)?＜x＜6，從而x=3，代入：y=4-

2

3

×3=2
∴2x+3y=12的正整數(shù)解為

x=3 y=2

解決問(wèn)題：
（1）九年級(jí)某班為了獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生，花費(fèi)35元購(gòu)買(mǎi)了筆記本和鋼筆兩種獎(jiǎng)品，其中筆記本的單價(jià)為3元/本，鋼筆單價(jià)為5元/支，問(wèn)有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？
（2）試求方程組

2x+y+z=10 3x+y-z=12

的正整數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)3x+5y=35，得y=

35-3x

5

=7-

3

5

x，進(jìn)而利用y=7-

3

5

x，為正整數(shù)，則

3

5

x為正整數(shù)，分析得出即可；
（2）利用（1）中計(jì)算方法，得出x，y的取值，進(jìn)而求出z的值即可．

解答：解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)了筆記本x本，鋼筆y支，
根據(jù)題意得出：3x+5y=35，
由題意可得：3x+5y=35，得y=

35-3x

5

=7-

3

5

x，
∵x，y為正整數(shù)，
∴

x＞0 7- 3 5 x＞0

，
則有：0＜x＜

35

3

，
又y=7-

3

5

x，為正整數(shù)，則

3

5

x為正整數(shù)，
∴x為5的倍數(shù)，又∵0＜x＜

35

3

，從而得出x=5或10，代入：y=4或1，
∴有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：
購(gòu)買(mǎi)的筆記本5本，鋼筆4支，
購(gòu)買(mǎi)的筆記本10本，鋼筆1支；

（2）兩式相加消去z得5x+2y=22，
由上題方法可得：

x=2 y=6

或

x=4 y=1

，
將

x=2 y=6

代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合題意舍去），
將

x=4 y=1

，代入方程2x+y+z=10得出z=1，
∴原方程組的解集為：

x=4 y=1 z=1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及多元方程組的解法，正確利用已知正整數(shù)解這一條件是解題關(guān)鍵．