Question

如圖拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M為 (2,4)；矩形ABCD頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3.     

1.求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

2.將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速?gòu)膱D示位置沿x軸正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線交點(diǎn)為N

① 當(dāng)t=時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，說明理由；

② 設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？說明理由．

 

Answer 1

 

1.

2.①不在，理由見解析。②S存在最大值.

解析:

（2）① 點(diǎn)P不在直線ME上.                              

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)，

又M的坐標(biāo)為(2,4)，設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8. …………………………………………………4分

由已知條件易得，當(dāng)t時(shí)，OA=AP，   ……………………5分

∵ P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8.       

∴ 當(dāng)t時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上.    ………………………………………6分          

② S存在最大值. 理由如下：                         

∵ 點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，

∴ OA=AP=t.

∴ 點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t ²+4t)      

∴ AN=-t ²+4t(0≤t≤3) ,