已知：矩形ABCD的對角線AC、BD的長是關(guān)于x的方程x2-mx+
m
2
+
3
4
=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求m的值；（2）直接寫出矩形面積的最大值．
分析：（1）由于矩形的對角線相等，那么△=0，解關(guān)于m的一元二次方程可得m=3或-1，而AC、BD為正數(shù)，易求m=3；
（2）當(dāng)矩形的對角線固定，矩形的長寬相等時(shí)，面積最大，先把m=3代入原方程，求出對角線，再設(shè)邊長為x，進(jìn)而可得x2=
9
8
，就是面積．
解答：解：（1）由矩形ABCD的對角線AC=BD得△=0，
所以m2-4(
m
2
+
3
4
)=0，
解得m=3或-1，
而AC、BD為正數(shù)，
∴m=3；       
（2）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，面積最大，
把m=3代入原方程，可得x2-3x+
9
4
=0，
解得x=
3
2
，
即AC=BD=
3
2
，
設(shè)正方形的邊長為x，則
2x2=
9
4
，
∴x2=
9
8
，
矩形面積的最大值=
9
8
．
點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)、根的判別式，解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)矩形的對角線固定，矩形為正方形時(shí)面積最大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：矩形ABCD的面積為12，邊AB與BC的長是關(guān)于x的方程x2-（m-5）x+m=0的兩個(gè)根．
（1）分別求出邊AB和BC的長度；
（2）以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交射線AD于點(diǎn)E，求四邊形ABCE的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•房山區(qū)二模）如圖1，在矩形MNPQ中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊NP，PQ，QM，MN上，當(dāng)∠1=∠2=∠3=∠4時(shí)，我們稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．
已知：矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均為邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，請解決下列問題：

（1）在圖2中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，請作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH，并求出反射四邊形EFGH的周長．
（2）在圖3中作出矩形ABCD的所有反射四邊形，并判斷它們的周長之間的關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1），已知，矩形ABCD的邊AD=3，對角線長為5，將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限．
①求圖（1）中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少？
②若矩形ABCD從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖（2），求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng)，AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn)，如圖（3），設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t（1＜t＜5），分別寫出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t為何值時(shí)，S2=
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S1？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山西省初三3月份月考數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知：矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）在平面直角坐標(biāo)系標(biāo)出個(gè)點(diǎn)。

（1）將矩形向上平移2個(gè)單位，畫出相應(yīng)的圖形，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將矩形各頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以－1，畫出相應(yīng)的圖形；

（3）在（1）、（2）中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

 

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