Question

已知對稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過點B（0，1），頂點是A（2，0），
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點P，使以BP為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A？若不存在說明理由；若存在，求出符合條件的圓的直徑長度；
（3）對于（2）中的點P，當(dāng)△ABP能構(gòu)成時，點M是拋物線上A、P之間的動點，求△BMP面積最大值．

Answer 1

解：（1）∵對稱軸平行于y軸的拋物線的頂點是A（2，0），
∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x-2）²．
又∵該拋物線經(jīng)過點B（0，1），
∴1=a（0-2）²，
解得，a=．
∴該拋物線的解析式為：y=（x-2）²（或y=x²-x+1）；

（2）假設(shè)在拋物線上存在一點P，使以BP為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A，其坐標(biāo)為P（x，y）．
如圖，過點P作PD⊥⊥x軸于D，連接AB、AP．
根據(jù)題意知，點A是以BP為直徑的圓上的一點，則∠BAP=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
則易證△AOB∽△PDA，
∴=，即=，
∴y=2x-4；
又∵點P是拋物線y=（x-2）²上的一點，
∴，解得或，即點P（2，0）或（10，16）．
①當(dāng)點P的坐標(biāo)是（2，0），點P與點A重合，此時該圓的直徑AB==；
②當(dāng)點P的坐標(biāo)是（10，16），此時該圓的直徑BP==5；

（3）如圖2，由（2）知，當(dāng)點P的坐標(biāo)是（10，16）時，點A、B、P能構(gòu)成直角三角形．
由B（0，1），P（10，16）可知，BP=直線BP的解析式為：y=x+1，即3x-2y+2=0．
設(shè)M（a，a²-a+1）（2＜a＜16）．則點M到直線的距離d==．
所以S_△BPM=BP•d=×5×=|（a-4）²-12|，則當(dāng)a=4時，S_△BPM最大=×12=15，即△BMP面積最大值是15．
分析：（1）此題已知該拋物線的頂點坐標(biāo)和拋物線上另一點的坐標(biāo)，故可設(shè)頂點式解析式，利用待定系數(shù)法求該拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出P點，作PD⊥x軸于D，連接AB、AP，可證三角形相似，根據(jù)相似比例，求出P點；
（3）根據(jù)點B、P的坐標(biāo)求得直線BP的直線方程，然后由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可以設(shè)M（a，a²-a+1）（2＜a＜16）．最后由點到直線的距離求得點M到直線BP的距離d=，將其代入三角形的面積公式，利用二次函數(shù)的最值的求法求得△BMP面積最大值．
點評：此題還是考拋物線的性質(zhì)和頂點坐標(biāo)，第二問探究存在性問題，充分利用圓和梯形的性質(zhì)，綜合性性較強，第三問利用第二問的結(jié)論，要看清題意．