Question

如圖，在△ABC的外接圓O中，D是的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E，連接BD．
（1）列出圖中所有相似三角形；
（2）連接DC，若在上任取一點(diǎn)K（點(diǎn)A，B，C除外），連接CK，DK，DK交BC于點(diǎn)F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定可以得到相似三角形共有三對(duì)；
（2）先根據(jù)已知作圖，通過證明△KDC∽△CDF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到DC²=DF•DK．
解答：解：（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

（2）DC²=DF•DK成立．
證明：∵D是的中點(diǎn)，
∴=，
∴∠DBC=∠DCB（等弧的圓周角相等），
又∵∠DBC=∠DKC，
∴∠DCB=∠DKC，
又∵∠KDC=∠CDF，
∴△KDC∽△CDF，
∴，
∴DC²=DF•DK．
點(diǎn)評(píng)：考查了相似三角形的判定方法及三角形外接圓與外心等知識(shí)的掌握情況．