Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=1．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)D是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接CD，設(shè)BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程x²-5x+4=0，求出兩根，得到OA，OC的長，即可以得到A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，已知拋物線的對稱軸是x=1，A，B一定關(guān)于對稱軸對稱，因而B的坐標(biāo)也可以相應(yīng)求出．
（2）已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）已知DE∥BC，則得到△AED∽△ACB，AB，AC的長度可以根據(jù)第一問求出，AD可以用m表示出來，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出EC的長（用m表示）．△DEC與△ABC的CE，AC邊上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC邊上的高也可以用m表示出來，則函數(shù)解析式就可求出．
S是否存在最大值，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)就可以得到．
解答：解：（1）∵OA、OC的長是x²-5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，
∴A（-1，0）C（0，-4），
∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，
∴由對稱性可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；

（2）∵點(diǎn)C（0，-4）在拋物線y=ax²+bx+c圖象上，
∴c=-4，
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-4，
得，
解之得，
∴所求拋物線解析式為：；

（3）根據(jù)題意，BD=m，則AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC==5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則sin∠EDF=sin∠CBA=，
∴，
∴EF=DE==4-m，
∴S_△CDE=S_△ADC-S_△ADE=（4-m）×4（4-m）（4-m）
=m²+2m（0＜m＜4）
∵S=（m-2）²+2，a=＜0
∴當(dāng)m=2時，S有最大值2．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．
點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，以及求函數(shù)的最值．