Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-（a+1）x（a為常數(shù)，且0＜a＜1）的圖象過原點O并與x軸交于點P；過點A（1，-1）的直線l垂直y軸于點B，并與二次函數(shù)的圖象交于點Q，以OA為直徑的⊙C交x軸于點D，連接DQ．
（1）點B與⊙C的位置關系是

 

；
（2）點A是否在二次函數(shù)的圖象上

 

；（填“是”或“否”）
（3）若DQ恰好為⊙C的切線，
①猜想：四邊形OAQD的形狀是

 

，證明你的猜想；
②求二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BC=DA即可；
（2）把A（1，-1）代入二次函數(shù)y=ax²-（a+1）x看左邊、右邊是否相等即可；
（3）①連接AD、CD，根據(jù)AO是⊙C的直徑得出∠ADO=90°，推出四邊形ABOD是正方形，得到OD∥AD，根據(jù)DQ是⊙C的切線．推出OA∥DQ即可；②由四邊形OAQD是平行四邊形，推出AQ=OD=1，得出Q（2，-1），代入二次函數(shù)的解析式求出a即可．

解答：解：（1）∵∠ABO=90°，AC=OC，
∴BC=DA，
∴點B在⊙C上
故答案為：點B在⊙C上．

（2）解：把A（1，-1）代入二次函數(shù)y=ax²-（a+1）x得：左邊=1，右邊=1，左邊=右邊，
∴點A在二次函數(shù)的圖象上
故答案為：是．

（3）①故答案為：平行四邊形．
證明：連接AD、CD，
∵AO是⊙C的直徑
∴∠ADO=90°，
∵∠ABO=∠BOD=90°，又A（1，-1），
∴四邊形ABOD是正方形，
∴OD∥AD，CD⊥OA．
∵DQ是⊙C的切線．
∴CD⊥DQ．
∴OA∥DQ
∴四邊形OAQD是平行四邊形．
②解：∵四邊形OAQD是平行四邊形
∴AQ=OD=1，
∴BQ=2，
∴Q（2，-1），
∴-1=4a-2（a+1），
∴a=

1

2

，
∴二次函數(shù)的表達式為y=

1

2

x2-

3

2

x．
答：二次函數(shù)的表達式為y=

1

2

x2-

3

2

x．

點評：本題主要考查對平行線的判定，正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點與圓的位置關系，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．