Question

數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：

如圖（1），將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題。
（2）合作交流：“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。
（3）提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題�！皭坌摹毙〗M提出的問題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分(△DMN)的面積。
任務(wù)：①請解決“愛心”小組所提出的問題，直接寫出△DMN的面積是　 　.
②請你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）。

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DC=DB=DA�！唷螧=∠DCB。
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B。
∴∠FDE=∠DCB�！郉G∥BC�！唷螦GD=∠ACB=90°�！郉G⊥AC。
又∵DC=DA，∴G是AC的中點(diǎn)。
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3。
∴S_DCG=·CG·DG=×4×3=6。
（2）∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1。
∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°。∴∠B=∠2。
∴∠1=∠2。∴GH=GD。
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3�！郃G=GD�！郃G=GH。
∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)。
在Rt△ABC中，AB= 10，
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5。
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB。 ∴，即，解得。
∴S_△DGH＝S_△ADH＝×·DH·AD=××5=。
（3）①。
②如圖4，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交A C于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。（答案不唯一）

試題分析：（1）通過證明DG是Rt△ABC的中位線，即可求得重疊部分（△DCG）的面積。
（2）通過證明S_△DGH＝S_△ADH，即可求得重疊部分（△DGH）的面積。
（3）①如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至（2）的位置△DE′F′，過點(diǎn)M作MP⊥DM交DE′于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ⊥DM交DF′于點(diǎn)Q，則

∵∠NDQ=∠QDM（旋轉(zhuǎn)角相等），DM=MN，∠DNQ=∠DQM=90°，
∴△ABC≌△FDE（ASA）。
∴S_△DDMN＝S_△DGH＝=。
②開放型（答案不唯一）。