Question

（2010•長沙）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動、設(shè)運動時間為t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；
（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、P兩點，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N，當線段MN的長取最大值時，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P、Q的運動速度，可用t表示出CQ、OP的長，進而根據(jù)OC的長求出OQ的表達式，即可由三角形的面積公式得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）四邊形OPBQ的面積，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面積差求得，進而可得到所求的定值；
（3）若△OPQ與△PAB和△QPB相似，那么△QPB必為直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以這三個相似三角形的對應(yīng)關(guān)系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出t的值，進而可確定點P的坐標，求出拋物線和直線BP的解析式；可設(shè)M點的橫坐標為m，根據(jù)直線BP和拋物線的解析式，求出M、N的縱坐標，進而可得到關(guān)于MN的長與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值及對應(yīng)的M點坐標；設(shè)BQ與直線MN的交點為H，根據(jù)M點的坐標和直線BQ的解析式即可求出H點的坐標，也就能得到MH的長，以MH為底，B、M橫坐標差的絕對值為高，可求出△BHM的面積，進而可根據(jù)四邊形OPBQ的面積求出五邊形OPMHQ的面積，由此可求出它們的比例關(guān)系式．
解答：（1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S_△OPQ=（0＜t＜8）；（3分）

（2）證明：∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCO-S_△CBQ-S_△PAB
==32；（5分）
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于32；（6分）

（3）解：當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，△QPB必須是一個直角三角形，依題意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ與AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴=，
∴，
解得：t₁=4，t₂=8
經(jīng)檢驗：t=4是方程的解且符合題意，t=8不是方程的解，舍去；（從邊長關(guān)系和速度考慮），
∴QO=4，
∴直線QB的解析式為：y=x+4，
此時P（，0）；
∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點，
∴拋物線是，直線BP是：（8分）．
設(shè)M（m，）、N（m，）．
∵M在BP上運動，
∴
∵與交于P、B兩點且拋物線的頂點是P；
∴當時，y₁＜y₂（9分）
∴MN=|y₁-y₂|
=|m²-2m+8-（m-8）|
=m-8-（m²-2m+8）
=m-8-m²+2m-8
=-m²+3m-16
=，
∴當時，MN有最大值是2；
∴設(shè)MN與BQ交于H點則，；
∴S_△BHM==
∴S_△BHM：S_{五邊形QOPMH}==3：29
∴當MN取最大值時兩部分面積之比是3：29．（10分）
點評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等重要知識點，綜合性強，難度較大．