【題目】如圖,在正方形ABCD中,BPC是等邊三角形,BP、CP的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AD于點(diǎn)E、F,連結(jié)BD、DP,BD與CF相交于點(diǎn)H.給出下列結(jié)論:

BDE∽△DPE;②=;③DP2=PHPB;④tanDBE=2

其中正確的是( )

A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③④

【答案】D

【解析】

試題分析:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),得到PCD=30°,于是得到CPD=CDP=75°,證得EDP=PBD=15°,于是得到BDE∽△DPE,故①正確由于FDP=PBD,DFP=BPC=60°,推出DFP∽△BPH,得到==故②錯(cuò)誤;由于PDH=PCD=30°,DPH=DPC,推出DPH∽△CPD,得到,PB=CD,等量代換得到PD2=PHPB,故③正確;過(guò)P作PMCD,PNBC,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,BPC為正三角形,于是得到PBC=PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,求得PCD=30°,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=PN=PBsin60°=4×=2,PM=PCsin30°=2,由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到EDP=DPM,等量代換得到DBE=DPM,于是求得tanDBE=tanDPM===2﹣,故④正確.

解:∵△BPC是等邊三角形,

BP=PC=BC,PBC=PCB=BPC=60°,

在正方形ABCD中,

AB=BC=CD,A=ADC=BCD=90°

∴∠ABE=DCF=30°

∴∠CPD=CDP=75°,∴∠PDE=15°

∵∠PBD=PBCHBC=60°﹣45°=15°,

∴∠EBD=EDP,

∵∠DEP=DEB,

∴△BDE∽△DPE;故①正確;

PC=CD,PCD=30°,

∴∠PDC=75°,

∴∠FDP=15°,

∵∠DBA=45°

∴∠PBD=15°,

∴∠FDP=PBD

∵∠DFP=BPC=60°,

∴△DFP∽△BPH

===,故②錯(cuò)誤;

∵∠PDH=PCD=30°,

∵∠DPH=DPC,

∴△DPH∽△CDP,

=,

PD2=PHCD,

PB=CD,

PD2=PHPB,故③正確;

如圖,過(guò)P作PMD,PNBC,

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,BPC為正三角形,

∴∠PBC=PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

∴∠PCD=30°

CM=PN=PBsin60°=4×=2,PM=PCsin30°=2,

DEPM,

∴∠EDP=DPM,

∴∠DBE=DPM,

tanDBE=tanDPM===2﹣,故④正確;

故答案為:①③④.

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