Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線(xiàn)段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA．
（Ⅰ）填空：CP與PD的數(shù)量關(guān)系是______，CP與PD的位置關(guān)系是______；
（Ⅱ）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求出t的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅳ）直接寫(xiě)出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義可得CP與PD的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可得CP與PD的位置關(guān)系；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；
（4）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)與OB平行且相等解答即可．
解答：解：（1）CP與PD的數(shù)量關(guān)系是CP=2PD，CP與PD的位置關(guān)系是CP⊥PD．
故答案為：CP=2PD，CP⊥PD；

（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設(shè)CP的中點(diǎn)為F，
則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1），
∴將線(xiàn)段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（t+1，）；

（2）∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，，），OA=4，
∴S_△DPA=AP×=（4-t）×=（4t-t²），
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=1；

（3）能夠成直角三角形．
①當(dāng)∠PDA=90°時(shí)，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（）²+1+（4-t-1）²+（，）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴=，
∴=，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)與OB平行且相等，OB=2，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng)為2．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查了二次函數(shù)、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，具有一定的綜合性．