Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOC的頂點A（-1，3），∠ACO=90°，點O為坐標原點．將Rt△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△A′OC′．設(shè)直線AA′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線經(jīng)過點C、M、N．解答下列問題：
（1）求直線AA′的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形PA′C′N成為直角梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出點A′的坐標，再把點A′和A的坐標代入直線的解析式即可求出結(jié)果．
（2）本題需先求出點M、N的坐標，再設(shè)出拋物線的解析式把點M、N、C的坐標代入即可求出答案．
（3）本題需先畫出使四邊形PA′C′N成為直角梯形時點P所在的位置，即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（-1，3），
∴點A′的坐標為（3，1），
設(shè)直線AA′的解析式為y=kx+b（k≠0）
則

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直線AA′的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

∴點M、N的坐標為（5，0）（0，

5

2

）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
則

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）當點P在P₁點處時四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₁點的縱坐標是

5

2

，
∴P₁點的橫坐標是4，
∴P₁點的坐標是（4，

5

2

）
當點P在P₂點處時四邊形PA′C′N成為直角梯形
∵P₂點的橫坐標是3，
∴P₂點的縱坐標是4，
∴P₂點的坐標是（3，4）
∴P點的坐標為（4，

5

2

）或（3，4）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時要把二次函數(shù)的性質(zhì)和解析式求法與一次函數(shù)的性質(zhì)及解析式求法相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．