Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如圖①，三角形內有并排的兩個全等的正方形GDKH和正方形HKEF，它們組成的矩形內接于△ABC，若AC=4，BC=3，求正方形的邊長；
（2）如圖②，在△ABC中從左向右依次作內接正方形CNDM、正方形MKEH、正方形HPFG，若正方形CNDM的邊長為m，正方形MKEH的邊長為n，請你用含m、n的代數(shù)式表示正方形HPFG的邊長．

Answer 1

解（1）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴AB•CN=AC•BC，
∴CN==，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，
設每個正方形邊長為x，則
，
∴x=；
（2）解：如右圖所示，
根據(jù)條件可以得到△DKE∽△EPF，
∴DK：PE=KE：PF，
而DK=m-n，F(xiàn)G=c，PE=n-c，PF=c，
∴（m-n）：（n-c）=n：c，
∴n²=mc，
∴正方形HPFG的邊長是．
分析：（1）設每個正方形邊長為x，首先根據(jù)面積定值求出三角形ACB斜邊上的高線長，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，因為△CGF∽△CAB，根據(jù)對應邊的比等于相似比可求出正方形的邊長．
（2）設正方形HPFG的邊長為c，根據(jù)相似三角形的性質，對應邊的比相等可得m，n和c的關系．
點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)相似三角形對應邊成比例找出后面正方形的邊長與第一個正方形的邊長的關系．