Question

【題目】如圖①，點(diǎn)P是正方形ABCD的BC邊上的一點(diǎn)，以DP為邊長(zhǎng)的正方形DEFP與正方形ABCD在BC的同側(cè)，連接AC，F(xiàn)B．

（1）請(qǐng)你判斷FB與AC又怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）若點(diǎn)P在射線CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖②，判斷（1）中的結(jié)論FB與AC的位置關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你指出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）FB∥AC，

證明：過(guò)F作FM⊥BC于M，

∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，

∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，

∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中

∴△PFM≌△DPC（AAS），

∵DC=PM，F(xiàn)M=PC，

∵DC=BC，

∴BC=DC=PM，

∴PM﹣BP=BC﹣BP，

∴BM=CP，

∵FM=CP，

∴FM=BM，

∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB= （180°﹣90°）=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC

（2）解：結(jié)論仍成立，

理由是：過(guò)F作FM⊥BC于M，

∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，

∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，

∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中，

，

∴△PFM≌△DPC（AAS），

∵DC=PM，F(xiàn)M=PC，

∵DC=BC，

∴BC=DC=PM，

∴PM+BP=BC+BP，

∴BM=CP，

∵FM=CP，

∴FM=BM，

∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB= （180°﹣90°）=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上移動(dòng)時(shí)，E的軌跡是圖中的線段GA．

【解析】（1）通過(guò)觀察可知二者平行，須延長(zhǎng)CB連接MB構(gòu)造全等三角形△PFM≌△DPC，得出內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠ACB=∠FBM，證得平行；（2）借鑒（1）的思路方法，輔助線仍和原來(lái)一樣；（3）借鑒（1）（2）的圖形，觀察圖1、2，E點(diǎn)始終在A的正上方，再尋找起始點(diǎn)，結(jié)束點(diǎn)，可確定是線段GA.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．