Question

如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．

（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；

（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí), 當(dāng)A，B，M,N在同一直線上時(shí),

(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）如圖1，證△ADM≌△NEM,可得AM=MN．( 4分 )

（2）如圖2，先證△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∴AB=NE．( 4分 )

再證△ABC≌△NEC,∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．( 4分 )

如圖3，∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．( 4分 )