Question

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求此二次函數(shù)解析式;
（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形;
（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），

∴根據(jù)題意，得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：由y=﹣x2+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），

∴CD==，

BC==3，

BD==2，

∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，

∴CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形；

（3）

解：存在．

y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．

①若以CD為底邊，則P1D=P1C，

設(shè)P1點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

因此2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，

即y=4﹣x．

又P1點(diǎn)（x，y）在拋物線上，

∴4﹣x=﹣x2+2x+3，

即x2﹣3x+1=0，

解得x1=，x2=＜1，應(yīng)舍去，

∴x=，

∴y=4﹣x=，

即點(diǎn)P1坐標(biāo)為（，）．

②若以CD為一腰，

∵點(diǎn)P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點(diǎn)P2與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，

此時點(diǎn)P2坐標(biāo)為（2，3）．

∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．

【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；
（2）分別求得線BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可；
（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．