Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D與B、C不重合），過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，DE=n，n與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在拋物線上．是否存在以M、N、A、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
依題意得，，
解得，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=x²-x-；

（2）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m²-m-，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′（k≠0，k、b′是常數(shù)），
依題意得，，
解得，
所以，直線BC的解析式為y=x-，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m-），
∴DE的長度n=m--（m²-m-）=m²-m，
∵點(diǎn)D在直線BC下方，
∴0＜m＜3；

（3）①AB是平行四邊形的邊時，
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
若點(diǎn)N在y軸的左邊，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-4，
所以，y=×（-4）²-×（-4）-=7，
此時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，7），
若點(diǎn)N在y軸的右邊，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4，
所以，y=×4²-×4-=，
此時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，）；
②AB是對角線時，∵點(diǎn)M在y軸上，拋物線對稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，
∴y=×2²-×2-=-，
此時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-）；
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，7）或（4，）或（2，-）．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求求出直線BC的解析式，然后求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后用點(diǎn)E的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，整理即可得解；
（3）分①AB是平行四邊形的邊時，先求出AB的長度，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標(biāo)，從而得解；②AB是對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標(biāo)，從而得解．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離，平行四邊形對邊相等，對角線互相平分的性質(zhì)，（3）要分情況討論．