Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4．BC=3，點M是AB上一點，以M為圓心作⊙M，
（1）若⊙M經(jīng)過A、C兩點，求⊙M的半徑，并判斷點B與⊙M的位置關(guān)系．
（2）若⊙M和AC、BC都相切，求⊙M的半徑．

Answer 1

解：（1）∵⊙M經(jīng)過A、C兩點，
∴M在AC的垂直平分線上，
設(shè)點D是AC的中點，連接CM，DM，
∴DM∥BC，
∴AM：BM=AD：CD=1，
∴M是AB的中點，
∴AM=CM=BM，
連接CM，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴CM=AB=2.5，
∴⊙M的半徑為2.5，點B在⊙M上．

（2）連接EM，F(xiàn)M，
∵⊙M和AC、BC都相切，
∴ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，
∵∠C=90°，
∴四邊形CEMF是正方形，
設(shè)EM=x，則CE=x，
∴AE=AC-CE=4-x，
∵△AEM∽△ACB，
∴AE：AC=EM：BC，
∴，
解得：x=．
即⊙M的半徑為．
分析：（1）設(shè)點D是AC的中點，連接CM，DM，易得CM=AM=BM，繼而求得⊙M的半徑，并判斷點B與⊙M的位置關(guān)系．
（2）首先連接EM，F(xiàn)M，可得四邊形CEMF是正方形，設(shè)EM=x，則CE=x，由△AEM∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得答案．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．