Question

如圖，△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為4，則下列各結(jié)論中，正確的結(jié)論是（　�。�
①△AMP和△CNP至少有一個(gè)是等邊三角形；
②△ABC的周長(zhǎng)等于8+4

3

；
③△AMP和△CNP至少有一個(gè)是鈍角三角形；
④△ABC的面積等于6

3

．

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：通過(guò)M關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理就可求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長(zhǎng)，從而得到△ABC的周長(zhǎng)，對(duì)于選項(xiàng)③做出判斷；由P為等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)，得到BP垂直于AC，在直角三角形ABP中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BP的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積，即可對(duì)于選項(xiàng)④做出判斷，由MP為三角形ABC中位線，得到MP與BC平行，求出∠MPA的度數(shù)，確定出三角形AMP為鈍角三角形，同理三角形CNP也為鈍角三角形，即可對(duì)于選項(xiàng)①、③做出判斷．

解答：解：作M點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接M'N，則與AC的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置，
∵M(jìn)，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
即：當(dāng)PM+PN最小時(shí)P在AC的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

AC，
∴PM=PN=2，MN=2

3

，
∴AC=4

3

，AB=BC=2PM=2PN=4，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：4+4+4

3

=8+4

3

，選項(xiàng)②正確；
若PM+PN的最小值為4時(shí)，P為AC中點(diǎn)，
∵AB=BC，
∴BP⊥AC，∠A=∠C=30°，
在Rt△ABP中，AB=4，
∴BP=

1

2

AB=2，
∵AC=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BP=4

3

，選項(xiàng)④錯(cuò)誤；
∵M(jìn)P為△ABC的中位線，
∴MP∥BC，
∴∠MPA=∠C=30°，
∴∠AMP=120°，即△AMP為鈍角三角形，
同理△CNP為鈍角三角形，
∴△AMP和△CNP至少有一個(gè)是鈍角三角形，選項(xiàng)①錯(cuò)誤，選項(xiàng)③正確，
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短線路問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，找出PM+PN的最小值為4時(shí)P的位置是解本題的關(guān)鍵．