Question

21、（1）證明：奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）請(qǐng)你進(jìn)一步證明：2006不能表示為10個(gè)奇數(shù)的平方之和．

Answer 1

分析：（1）設(shè)奇數(shù)為（2n+1）（n≥0，n為整數(shù)），算出其平方，進(jìn)一步利用分析解答即可；
（2）利用（1）的結(jié)論，把2006和10個(gè)奇數(shù)的平方之和都除以8，計(jì)算余數(shù)即可判定．

解答：解：設(shè)奇數(shù)為（2n+1）（n≥0，n為整數(shù)），則（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要證得8能整除（4n²+4n）即可，
顯然4能整除（4n²+4n），而n²與n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）由（1）可知10個(gè)奇數(shù)的平方之和被8除余數(shù)為2，
2006除以8余數(shù)為6，兩數(shù)被8除余數(shù)不同，
也就證明2006不能表示為10個(gè)奇數(shù)的平方之和．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用整除數(shù)的性質(zhì)，數(shù)的奇偶性以及有余數(shù)的除法解決問(wèn)題．