Question

AD為⊙O的直徑，PD為⊙O的切線，PCB為⊙O的割線，PO分別交AB、AC于點M、N．求證：OM=ON．

Answer 1

證明：過點C作PM的平行線，交AD于Y，交AB于X；
過Y點作AB的平行線，交PB于Z．
∵∠ZYD=∠BAD=∠BCD，
∴Z、Y、C、D共圓，
∴∠ZDO=∠ZCY=∠ZPO．
∴Z、D、P、O共圓，
∠PZO=∠PDO=90°．
∴OZ⊥BC，
又∵YZ∥AB，
∴Z是BC的中點，
∴Y是CX的中點，O是MN的中點，
∴OM=ON．
分析：過點C作PM的平行線，交AD于Y，交AB于X；過Y點作AB的平行線，交PB于Z．利用圓周角定理和同位角相等，求證Z、Y、C、D共圓，同理，求證Z、D、P、O共圓，然后利用平行線分線段成比例即可證明Z是BC的中點，Y是CX的中點，O是MN的中點．
點評：此題主要考查學(xué)生對切割線定理和平行線分線段成比例的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是過點C作PM的平行線，過Y點作AB的平行線，分別求證Z、Y、C、D共圓，Z、D、P、O共圓，此題難度較大，是一道難題．