Question

如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，M、N分別為AD、BC的中點，MN交AC、BD于E、F．
求證：BD•OE=AC•OF．

Answer 1

解：如圖，取AB的中點G．
連接GM，GN，
因為M、N分別為AD，BC中點，
所以GM∥BD，GM=BD，
GN∥AC，GN=AC，
所以∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
所以△GMN∽△OFE，
所以GM：OF=GN：OE，
即BD：OF=AC：OE，
所以BD•OE=AC•OF．
分析：取AB的中點G，連接GM，GN，根據(jù)中位線定理可以求得GM=BD，GN=AC，進而可以求證△GMN∽△OFE，即可證明BC•OE=AC•OF，即可解題．
點評：本題考查了中位線定理，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求證△GMN∽△OFE是解題的關(guān)鍵．