Question

（2002•四川）如圖，在半徑為r的半圓⊙O中，半徑OA⊥直徑BC，點E、F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求證：S_{四邊形AEOF}=r²；
（2）設AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的范圍；
（3）當S_△OEF=S_△ABC時，求點E、F分別在AB、AC上的位置及EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證△AOE≌△COF，可知四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=r²；
（2）利用S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF，可求得y=x²-rx+r²（0＜x＜r）；
（3）當S_△OEF=S_△ABC時，y=r²，即x²-rx+r²=r²，解得x₁=，根據(jù)直角三角形邊長之間的關(guān)系可知EF=r．
解答：（1）證明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=r²．

（2）解：∵S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF=r²-（r-x）•x=x²-rx+r²，
∴y=x²-rx+r²（0＜x＜r）

（3）解：當S_△OEF=S_△ABC時，y=r²
∴x²-rx+r²=r²
∴x₁=r，
∴或
即AE=AB，AF=AC或AE=AB，AF=AC．
∴EF=r．
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有三角形全等的證明，用含x的式子表示線段的長度并根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)表示出面積之間的關(guān)系以及直角三角形和一元二次方程的實際運用等．要熟練掌握才能靈活運用．