如圖,△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠BCA的外角平分線于點F.

(1)求證:EO=FO

(2)當(dāng)點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

 

【答案】

(1)見解析;(2)當(dāng)O為AC中點時

【解析】

試題分析:(1)由MN∥BC可得∠BCE=∠CEO,再結(jié)合∠BCE=∠ECO可得OE=OC,同理OC=OF,即可證得結(jié)論;

(2)先根據(jù)對角線互相平分的四邊形的證得AECF為平行四邊形,再根據(jù)CE、CF為△ABC內(nèi)外角的平分線可得∠EOF=90°,即可證得結(jié)論.

(1)∵MN∥BC,

∴∠BCE=∠CEO

又∵∠BCE=∠ECO

∴∠OEC=∠OCE

∴OE=OC,同理OC=OF

∴OE=OF;

(2)當(dāng)O為AC中點時,AECF為矩形

∵EO=OF,OA=OC

∴AECF為平行四邊形

又∵CE、CF為△ABC內(nèi)外角的平分線

∴∠EOF=90°,

∴AECF為矩形.

考點:本題考查的是平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),平行四邊形的判定,矩形的判定

點評:解答本題的關(guān)鍵熟練掌握鄰補角的平分線互相垂直,一個角是直角的平行四邊形是矩形.

 

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