Question

（2002•濟(jì)南）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為劣弧上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，P為ED的延長線上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)△PCF滿足什么條件時(shí)，PC與⊙O相切．為什么？
（2）當(dāng)點(diǎn)D在劣弧的什么位置時(shí)，才能使AD²=DE•DF．為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）PC與⊙O相切時(shí)，OC⊥PC，根據(jù)已知可得到此時(shí)PC=PF或∠PCF=∠PFC或△PCF為等邊三角形；
（2）要使AD²=DE•DF，則有△DAF∽△DEA，根據(jù)已知即可求得此時(shí)點(diǎn)D在弧AC的中點(diǎn)．
解答：解：（1）當(dāng)PC=PF（∠PCF=∠PFC或△PCF為等邊三角形）時(shí)，PC與⊙O相切．
連接OC，則∠OCA=∠FAH
∵PC=PF
∴∠PCF=∠PFC=∠AFH
∵DE⊥AB于H
∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC
∴PC與⊙O相切

（2）當(dāng)點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)時(shí)，AD²=DE•DF．
連接AE
∵弧AD=弧CD
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADF=∠EDA
∴△DAF∽△DEA
∴
即AD²=DE•DF．
點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定及切線的判定的綜合運(yùn)用．