Question

如圖，過矩形ABCD對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于E、F，點G為AE的中點，若∠AOG=30°，求證：OG=

1

3

DC．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：連接OB，利用在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：AG=OG，再由已知條件可得△OEG是正三角形，進而證明△OEB是等腰三角形，得到OG=AG=GE=EB=OE，問題得證．

解答：證明：連接OB，
∵EF⊥AC，
∴△AOE是直角三角形
∴OG=AG=GE，
∴∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE-∠AOG=60°，
∴△OEG是正三角形，
∴OG=OE=GE，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°，
∴∠BOE=∠AOB-90°=30°，
∴△OEB是等腰三角形，
∴OE=EB，
∴OG=AG=GE=EB=OE，
∴OG=

1

3

AB=

1

3

DC．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)①在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；②在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）．