已知:平面直角坐標(biāo)系中,直線y=ax+1(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,該直線與雙曲線y=
k
x
在第三象限的交點(diǎn)為C(-2
3
,m),且S△AOB的面積為
3
2

(1)求a、m、k 的值;
(2)以BC為一邊作等邊三角形BCD,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
分析:(1)先求出A點(diǎn)坐標(biāo)為(-
1
a
,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),再根據(jù)三角形面積公式由S△AOB的面積為
3
2
可求出a的值,且該直線與雙曲線y=
k
x
在第三象限的交點(diǎn)為C(-2
3
,m),則a的為正數(shù),從而確定直線解析式,然后把C(-2
3
,m)代入直線解析式可求出m,再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值;
(2)過C作CE⊥y軸于E,由A(-
3
,0),B(0,1)易得∠BAO=30°,則∠BCE=30°,∠CBE=60°,利用C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2
3
,-1),則OE=1,BE=2,BC=4,討論:當(dāng)△BCD為等邊三角形,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DCB=60°,DC=CB=4,得到∠DCE=60°+30°=90°,易得D點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)△BCD′為等邊三角形,同理可得到D′坐標(biāo).
解答:解:(1)對于y=ax+1(a≠0),令x=0,則y=1;令y=0,則x=-
1
a
,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-
1
a
,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
∵S△AOB的面積為
3
2
,
1
2
×|-
1
a
|×1=
3
2
,解得a=±
3
3
,
∵直線y=ax+1(a≠0)與雙曲線y=
k
x
在第三象限的交點(diǎn)為C(-2
3
,m),
∴a>0,
∴a=
3
3

把C(-2
3
,m)代入y=
3
3
x+1得m=-2
3
×
3
3
+1=-1,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2
3
,-1),
把C(-2
3
,-1)代入雙曲線y=
k
x
得k=-2
3
×(-1)=2
3
,
∴a=
3
3
,m=-1,k=2
3


(2)如圖,過C作CE⊥y軸于E,
∵A(-
3
,0),B(0,1),
∴OA=
3
,OB=1,
∴tan∠BAO=
OB
OA
=
3
3

∴∠BAO=30°,
∴∠BCE=30°,∠CBE=60°,
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2
3
,-1),
∴OE=1,BE=2,
∴BC=4,
當(dāng)△BCD為等邊三角形,
則∠DCB=60°,DC=CB=4,
∴∠DCE=60°+30°=90°,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2
3
,3);
當(dāng)△BCD′為等邊三角形,
則∠D′BC=60°,D′B=CB=4,
∵∠CBE=60°,
∴點(diǎn)D′在y軸上,
∴OD′=4-1=3,
∴D′的坐標(biāo)為(0,-3),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2
3
,3)或(0,-3).
點(diǎn)評:本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:點(diǎn)在圖象上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式;掌握等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系;正解運(yùn)用線段的長表示點(diǎn)的坐標(biāo).
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(1)如圖情況下:a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?
(2)如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項(xiàng),試證a、c互為倒數(shù);
(3)在(2)的條件下,如果b=-4,AB=4
3
,求a、c的值.

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(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式;
(2)連結(jié)CQ,當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是線段AC上的點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PQE成為等腰直角三角形?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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m
x
(m≠0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-
1
2
,過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,AC=1,OC=2.求:
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式;
(2)求不等式kx+b-
m
x
<0的解集(請直接寫出答案).

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(0,5)或(0,-5)或(0,3)或(0,-3)
(0,5)或(0,-5)或(0,3)或(0,-3)

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