Question

如圖，矩形A′BC′O′是矩形ABCO繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到的．其中點(diǎn)O'，C在x軸負(fù)半軸上，線段OA在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，3）．
（1）如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O、O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為
-1．求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求邊O′A′所在直線的解析式；
（3）在（1）中求出的二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得S△PO′M=3S△CO′D，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BO、BO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO=BO′，再根據(jù)對稱性可知OC=O′C，然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先利用角角邊證明△A′BD與△CO′D全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=O′D，然后在Rt△CDO′中，利用勾股定理求出CD的長度，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線O′A′的解析式；
（3）先求出△CO′D的面積，然后根據(jù)拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²+2x），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線O′M于點(diǎn)Q，求出直線O′M的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-x-2），然后根據(jù)S_△PO′M=S_△PQM-S_△PO′Q，然后根據(jù)三角形的面積列式整理得到關(guān)于x的一元二次方程，求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，連接BO、BO′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′，
∵BC⊥OC，
∴O′C=OC，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，3），頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，
∴點(diǎn)O′（-2，0），M（-1，-1），
∴

c=0 4a-2b+c=0 a-b+c=-1

，
解得

a=1 b=2 c=0

，
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x；

（2）如圖1，在△A′BD與△CO′D中，

∠A′=∠DCO′=90° ∠CDO′=∠A′DB A′B=CO′=1

，
∴△A′BD≌△CO′D（AAS），
∴BD=O′D，
∴O′D=3-CD，
在Rt△CDO′中，O′D²=CD²+O′C²，
即（3-CD）²=CD²+1²，
解得CD=

4

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，

4

3

），
設(shè)直線O′A′的解析式為y=kx+b，
則

-k+b= 4 3 -2k+b=0

，
解得

k= 4 3 b= 8 3

，
∴直線O′A′的解析式為y=

4

3

x+

8

3

；

（3）如圖2，由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，

4

3

）可得S_△CO′D=

1

2

O′C•CD=

1

2

×1×

4

3

=

2

3

，
若存在點(diǎn)P，使得S_△PO′M=3S_△CO′D，則S_△PO′M=3×

2

3

=2，
由O′（-2，0），M（-1，-1）得，

-2k+b=0 -k+b=-1

，
解得

k=-1 b=-2

，
∴直線O′M的解析式為y=-x-2，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²+2x），
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交O′M于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-x-2），
∴S_△PO′M=S_△PQM-S_△PO′Q，
即S_△PO′M=

1

2

[（x²+2x）-（-x-2）]•[（-1-x）-（-2-x）]=2，
整理得，x²+3x-2=0，
解得x=

-3± 17

2

，
當(dāng)x=

-3+ 17

2

時，y=x²+2x=

7- 17

2

，
當(dāng)x=

-3- 17

2

時，y=x²+2x=

7+ 17

2

，
∴存在點(diǎn)P₁（

-3+ 17

2

，

7- 17

2

），P₂（

-3- 17

2

，

7+ 17

2

）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，有旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求直線的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及矩形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）中利用函數(shù)解析式設(shè)點(diǎn)的方法比較重要，也是求解的關(guān)鍵．