Question

（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

①∠AEB的度數(shù)為 ；

②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為 ；

（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請求出點A到BP的距離．

Answer 1

【解析】
（1）①60°．

②AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，

∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，

∴點P在以BD為直徑的圓上．

∴點P是這兩圓的交點．

①當(dāng)點P在如圖3①所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，CD=，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四點共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP，

∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．

∴AH=．

②當(dāng)點P在如圖3②所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，

過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴AH=．

綜上所述：點A到BP的距離為或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可求∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，即可證出AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，故需對兩個位置分別進(jìn)行討論．添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助（2）中的結(jié)論即可解決問題．

考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．