Question

我們學(xué)過圓內(nèi)接三角形，同樣，四個(gè)頂點(diǎn)在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，下面我們來研究它的性質(zhì)．
（I）如圖（1），連接AO、OC，則有∠B=

1

2

∠1，∠D=

1

2

∠2．∵∠1+∠2=360°∴∠B+∠D=

1

2

×360°=180°，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圓內(nèi)接四邊形對(duì)角（相對(duì)的兩個(gè)角）互補(bǔ)．
（II）在圖（2）中，∠ECD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，請(qǐng)你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對(duì)角（簡(jiǎn)稱內(nèi)對(duì)角）∠A的關(guān)系，并證明∠DCE與∠A的關(guān)系．
（III）應(yīng)用：請(qǐng)你應(yīng)用上述性質(zhì)解答下題：如圖（3）已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，F(xiàn)、E分別為BD、AD延長線上的點(diǎn)，如果DE平分
∠FDC，求證：AB=AC．

Answer 1

分析：（II）由（I）可知：∠A+∠BCD=180°，又由鄰補(bǔ)角的定義，可得∠DCE+∠BCD=180°，繼而可證得∠DCE=∠A；
（III）由（II）易證得∠2=∠ABC，又由對(duì)頂角相等與圓周角定理，可證得∠1=∠ACB，又因?yàn)镈E平分∠FDC，即可證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，即可證得AB=AC．

解答：（II）解：∠DCE=∠A．
證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A；

（III）證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．